Možete li riješiti ovu jednačinu s tri nepoznate?

U pravilu bi nam za rješenje sistema jednačina s tri nepoznate trebale tri jednačine. Ali, nekad je dovoljna i samo jedna...

09.06.2016.
Foto: Ilustracija
Foto: Ilustracija

Matematika je kao kraljica svih nauka bezrazložno ozloglašena. U krajnjoj liniji zato što se svaki problem da jednostavno i ljudski objasniti. Pojedinci se, međutim, i u odrasloj dobi znaju sjećati trauma koje su imali tokom satova matematike, posebno ako im nastavnik ili nastavnica nije posjedovao sretan omjer vještine objašnjavanja i strogoće ispitivanja.

Jedan od algebarskih problema koji djecu tokom ispitivanja može dovesti i do suza, ukoliko se prethodno ne objasni, jest zadatak u kojem se mora odgovoriti koja tri cijela broja veća od nula imaju isti i umnožak i zbir. Brojevi mogu, ali ne moraju biti isti. Problem u algebarskom obliku glasi ovako: a*b*c=a+b+c pri čemu se moraju pronaći sve vrijednosti za a,b i c koje daju realna rješenja.

Na prvu, problem se čini jezivo težak. Prvo zato što su umnošci cijelih pozitivnih brojeva, koliko nam se čini iz životnog iskustva, u pravilu veći od njihovog zbira. A drugo, zato što imamo samo jednu jednačinu s čak tri nepoznate. A to je noćna mora. Ali, uz samo malo kreativnog razmišljanja problem postaje krajnje jednostavan.

Ako su tri broja, jedan mora biti najveći. Recimo da je to broj a. To onda znači da je a veći ili jednak b, te da je b veći ili jednak c. Odnosno, a>=b, b>=c. Kako nas zanima najveće rješenje umnoška tri broja koje je isto kao i njihov zbir, a i kako znamo da bi takvo rješenje, ako i postoji, u najboljem slučaju moglo biti samo jedno zato što je umnožak u pravilu veći od zbira tri broja, najveće rješenje bi potencijalno moglo biti da su sva tri broja vrijednosti a, da je zbir 3*a.

A to onda znači da rješenje može biti i manje, pa dobijamo izraz a*b*c=a+b+c=<3*a. Kad to redukujemo/skratimo, dobijemo b*c=b+c=<3. Sve što sad trebamo jest iskopati koja su to dva broja koja npr. pomnožena daju 3 ili manje od toga. Kako je riječ o cijelim brojevima, vrijednosti b i c mogu biti samo 1, 2 ili 3, iz čega je savršeno jasno da to mogu biti vrijednosti c=1 i b=2, odnosno c=1 i b=3.

Kad se vratimo početnoj jednačini, postaje jasno da druga vrijednost za b otpada, te da rješenje može biti samo a=3, b=2 i c=1.

(Express.hr)


Sviđa ti se objava? Podijeli je sa prijateljima!

STUDOMAT
STUDOMAT je najveća internet zajednica studenata i mladih u regionu osnovana 2012. godine, namijenjena studentima i mladima u potrazi za informacijama o studiju i dodatnoj edukaciji, stipendijama, studentskim poslovima, smještaju i ostalim temama koje su interesantne studentima i mladima.